Kisah bijak tukang kayu

Tukang kayu dan anaknya

            Dahulu kala, di sebuah desa ada di pinggir hutan hiduplah seorang tukang kayu dan anaknya yang masih muda dan kuat. Bapaknya tiap hari bekeja membuat peralatan yang terbuat dari kayu seperti meja, kursi, lemari dan tempat tidur. Sedangkan si anak pagi pagi pergi kesekolah untuk belajar dan pulang setelah matahari mulai menghilang. Suatu hari sang anak bermain bola bersama teman temannya disaat jam istirahat dan tanpa sengaja memecahkan pot bunga sekolah yang ada di depan kelasnya. Lantas semua yang bermain waktu itu kabur dan menghilang karena takut dimarahi oleh gurunya. Tapi si anak tukang kayu tidak, ia mendekati pot bunga yang dipecahkan temannya itu dan mengumpulkannya serta membersihkan bekas tanah yang berserakan. Tak lama berselang gurupun datang menghampirinya dan tanpa piker panjang melayangkan tanggannya ke pipi sang anak. “dasar anak tak tahu diri, sudah tak bisa bayar uang sekolah sekarang juga menghancurkan fasilitas sekolah” kata sang guru. Si anak terisak dan berlari pulang kerumahnya. Dirumah ia menceritakan kejadian yang di alaminya kepada ayahnya, “ayahku, mengapa guru itu mengatakan hal itu kepadaku? Padahal aku hanya ingin memperbaikinya yah”tanyanya. Ayahnya tersenyum, membuat si anak keheranan. “Anakku, mari kamu ikut denganku ke bengkel”ajaknya. “Kamu lihat begaimana pekerjaan ayah, membuat dan memperbaiki perabotan kayu masyarakat, nanti sore akan datang orang yang memesan kursi ini kesini, kamu tunggulah”ungkap sang ayah.

            Setelah sore, pemilik kursi itupun datang untuk menjemput kursinya. Tukang kayu itu memperlihatkan hasil kerjanya kepada sang pemesan dan si anak tukang kayu berdiri di samping sang ayah. Setelah melihat lihat hasil pesanannya si pemesan bergumam,”hei tukang kayu, kenapa kursi saya jadi miring seperti ini, apakah kamu tidak bisa membuat kursi yang lurus untuk diduduki?” “Pak, kursi ini saya miringkan supaya bapak lebih nyaman duduk di atasnya dan supaya punggung bapak tidak kaku”jawab si tukang kayu. Setelah berdebat tentang pesanannya dan si tukang kayu pun berulang kali menjelaskan kegunaan kursi yang ia buat. Akhirnya sipemesan kursipun mengerti dan mengucapkan terima kasih kepada si tukang kayu bahkan membayar lebih mahal dari perjanjian mereka semula karena si tukang kayu telah memikirkan dampak lain dan meningkatkan kualitas pesanannya. Setelah pemesan kursi pergi, si tukang kayu pergi dan memanggil anaknya. Wahai anakku, kamu lihat apa yang barusan terjadi? Ketika pemesan kursi itu datang dan marah karena hasilnya tak seperti yang ia inginkan? Begitulah manusia nak, mereka hanya melihat apa yang dia inginkan dan akan berusaha untuk menemukan kesalahan sekecil apapun untuk menjatuhkan manusia yang lain. Mereka tidak ingin tahu bagaimana dampaknya.

            Wahai sahabatku, tak terasa kita memang sering melakukan hal tersebut kepada orang lain, marah kepadanya karena melakukan kesalahan tapi kita tidak mengerti kebaikan dari kesalahan yang dia perbuat. Bahkan kita sering menjatuhkannya hanya karena salah menggunakan bahasa. Sangat sadis memang kehidupan seperti itu ketika seseorang kita jatuhkan hanya karena kesalahan kecil namun kita membesar-besarkannya.

sistem bilangan real

System bilangan real dan sifatnya

Yang termasuk dalam bilangan riil adalah bilangan berikut :

a)    Bilangan asli

Bilanhan asli adalah bilangan yang di mulai dari angka (1,2,3,…..dst)

b)    Bilangan cacah

Bilngan cacah adalah bilangan uang dimulai dari angka (0,1,2,3,……dst)

c)    Bilangan bulat

Bilangan blat adalah bilangan yang mencakupi seluruh posisi di garis bilangan namun tidak memiliki angka taksiran seperti (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,….)

d)    Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan bulat yang mempunyai ketelitian lebih, sehingga diteukan hasil yang lebih tepat dengan bentuk m/n dimana m dan m adalah bilangan bulat dan n≠0. Contohnya adalah 2/4, ½, 6/8, dsb

e)    Bilangan irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang punya arti atau nilai jauh dari kelumrahan dan tidak dapat diselesaikan tanpa alat bantu. Contohnya adalah √5, √2, π, dsb

Bilangan rill layaknya bilangan rasional juga memiliki lawan / kebalikan. Kebalikan dari bilangan riil disebut bilangan imaginer dan yang termasuk komponen bilanga imaginer adalah √-

Decimal berulang dan tidak berulang

            Salah satu cara membedakan antara bilangan rasional dan irasional yang sama-sama mempunyai bentuk decimal adalah dari segi decimalnya. Biasanya bilangan rasional akan mempunyai decimal yang berulang seperti 0,136136136136136 untuk penyelesainnya kita missal:

Penyelesaian : misalkan         x =0,136136136136136

                                                1000x = 136,136136136136

                                                1000x – x = 136,136136136136 – 0,136136136136136

                                                999x = 136

                                                X = 136/999 …….. (termauk bilangan rasional)

            Sekarang misalkan angkanya kita ganti menjadi 0,123456789. Ini sudah tergolong angka irasional. Kita selesaikan dengan method yang sama:

Penyelesaian : misalkan         x = 0,123456789

                                                1000x = 123,456789

                                                1000x – x = 123,456789 – 0,123456789

                                                999x = 123,333332211

                                                X = 123,333332211/999…… ( Irasonal)

Kepadatan

            Yang dimaksudkan kepadatan dalam kalkulus / mathematka adalah bahwa diantara dua buah bilangan ril, terdapat ∞bilangan. Contoh diantara 1 dan 2 ada berapa banyak bilangan?

1,….,1/32,1/16,1/8,1/4,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,…. 2 (lihat, begitu banyak bilangan yang terdapat antara angka satu dan 2 saja

Teorema

Hasil dari pengetahauan yang kemudian di kembangkan menjadi ilmu. Pengetahuan adalah segala sesuatu yang berupa informasi yang kita dapatkan dari pengalaman hidup, sedangkan ilmu adalah pengetahuan yang telah kita uji berkali kali dan selalu mendaatkan kebenaran dari informasi tersebut.  Dalam ilmu abstrak pelafasan dari ilmu tersebut bukan hanya sekedar defenisi tetapi lebih diarahkan menjadi teorema / hokum. Nantika kita akan lebih banyak bertemu dengan istilah teoroma ataupun hokum seperti teorema phytagoras, teorema binomial newton dsb

Sifat-sifat bilangan riil

1.    Trikotomi, jika x = y maka berlaku x>y, x<y, atau x=y

2.    Ketransitifan, jika x<y dan y<z maka x<z begitupun sebaliknya jika x>y dan y>z maka x>z

3.    Perkalian,       jika x<y maka x.z < y.z ……….. berlaku jika nilai z = (+)

Jika x<y maka x.z > y.z ………. Berlaku jika nilai z = (-)

4.    Penambahan, jika x<y maka x+z < y+z

Selain 4 sifat utama diatas ada sifat lain yang berkaitan dengan sistim bilangan rill yaitu yang bersifat khusus dimana sifat tersebut punya syarat tersendiri seperti :

@ untuk semua x,x>0 hanya berlaku jika x≥1

@untuk semua x,x<0 hanya berlaku jika x≤1

@untuk semua x,x<0 maka x²>0 Untuk menyelesaikan persamaan ini maka dilakukan dengan cara kontradiksi yaitu dengan memasukkan sembarangan angka untuk pembuktiannya.

Soal soal latihan

1.    Tentukan bilangan bilangan berikut apakah rasional atau bukan!

a.    1.23234234523456

b.    12,345345345345

c.    0,54535251

d.    0,01001000100001

e.    2,334333433334

2.    Manakah diantara bilangan berikut yang selalu bernilai benar ?

a.    2+x²>x³

b.    X-4<x²

c.    2-x/2+x<2+x/2-x

3.    Tentukanlah himpunan penyelesaian dari bilang berikut

a.    Jika K adalah bilangan bulat kurang dari 35-x+x² dengan x adalah bilangan prima kurang dari 10 maka banyak himpunan bilangan yang bernilai posiitif adalah?

b.    Dari soal pertama tentukanlah banyak bilangan yang bernilai negative?

c.    Berapakah banyak bilangan prima yang ada?

4.     

Materi Olimpiade Matematika

MATERI DAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SMA

PERSIAPAN OLIMPIADE TKT KAB/KOTA

TAHUN 2013

A.    RANGKUMAN MATERI TEORI BILANGAN

NO	MATERI POKOK	RUANG LINGKUP
1	TEORI BILANGAN	-          Sistem bilangan bulat (himpunan bilangan bulat dan sifat       sifat operasinya) -          Keterbagian (pengertian, sifat-sifat elementer, alogaritma        pembagian) -          Faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil, relatif prima,alogaritma Euklid) -          Bilangan prima -          Teorema dasar aritmatika (faktorisasi prima) -          Persamaan dan sistem persamaan bilangan bulat       (Persamaan Diophantine) -          Fungsi tangga

RANGKUMAN MATERI

Operasi dan Sifat Bilangan Real

Definisi:

Jika a dan b adalah bilangan real, maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai a + b yang merupakan jumlah dari a dan b. Juga ada suatu bilangan real a × b (atau ditulis sebagai a.b atau ab) yang merupakan hasil kali dari a dan b.

Sifat-sifat operasi himpunan bilangan real

Beberapa sifat operasi pada bilangan real antara lain adalah:

1. Sifat tertutup (Closure Axioms)

Himpunan bilangan real R dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah dan hasil kali dari 2 bilangan real merupakan bilangan real pula. Dalam notasi matematika biasa ditulis sebagai berikut:

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a, b  R, berlaku (a + b)  R

b.      Perkalian

Untuk setiap a, b  R, berlaku (ab)  R

2. Sifat Komutatif

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a_, b R, berlaku a + b = b + a

b.      Perkalian

Untuk setiap a_, b  R, berlaku ab =ba

3. Sifat Asosiatif

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a, b, c  R, berlaku (a + b) + c = a + (b + c)

b.      Perkalian

Untuk setiap a_, b, c  R, berlaku (ab)c = a(bc)

4. Sifat Identitas

a.      Penjumlahan

Untuk setiap n  R_. berlaku n + 0 = 0 + n = n dimana 0 sebagai identitas penjumlahan

b.      Perkalian

Untuk setiap n  R, berlaku n x 1 = 1 x n = n dimana 1 sebagai identitas perkalian

5. Sifat Kebalikan (inverse)

a.      Penjumlahan

Untuk setiap a  R akan terdapat -a  R sehingga berlaku sifat a + (-a) =  (-a) + a = 0. -a disebut invers atau kebalikan dari a terhadap operasi penjumlahan

b.      Perkalian

Untuk setiap a ≠ 0  R akan terdapat 1/a R sehingga berlaku sifat   a × 1/a = 1/a × a = a disebut invers atau kebalikan dari a terhadap operasi perkalian

6. Sifat Distributif

a.      Distributif kiri

Untuk setiap a_, b, c  R, berlaku (a + b) c = ac + bc

b.      Distributif kanan

Untuk setiap a_, b, c  R, berlaku a (b + c) = ab + ac

Keterbagian

Definisi 1. Misalkan a dan b bilangan bulat. Kita katakan a membagi b jika terdapat

                 bilangan bulat k sehingga b = ka, dalam hal berikut kita tuliskan a | b. Dalam

                  hal a tidak membagi b kita tuliskan a  |  b.

Teorema Algoritma pembagian.

Misalkan a bilangan bulat dan d bilangan bulat positif. Terdapat bilangan bulat q dan r yang unik, dengan  0 £ r < d sehingga a = dq + r

Dalam persamaan yang diberikan pada algoritma pembagian, d disebut pembagi (divisor), a disebut yang dibagi (divident), q disebut hasil bagi (quotient), dan r disebut sisa (remainder)

Ada banyak kasus-kasus seperti ini dimana yang diperlukan hanyalah sisa pembagian sementara hasil baginya tidak penting.

Menentukan FPB

Untuk menentukan FPB dari dua atau lebih bilangan asli dapat dilakukan dengan berbagai macam

 metode, yaitu:

1.       Mendaftarkan semua faktor dari bilangan-bilangan tersebut

2.      Metode faktor prima

Metode ini merupakan metode yang sangat umum digunakan, yaitu dengan menguraikan setiap bilangan tersebut sebagai perkalian antar faktor primanya. Kemudian untuk menentukan FPB dengan cara:

a.       Tentukan semua faktor prima yang sama antar bilangan tersebut

b.      Tentukan bilangan terkecil dari pemangkatan setiap faktor prima yang sama di atas yang berada pada bilangan-bilangan tersebut

c.       FPB dari bilangan-bilangan tersebut adalah perkalian antar semua bilangan terkecil yang sudah diperoleh di atas

Namun metode ini dapat dilakukan jika bilangan-bilangan asli yang ingin dicari FPB nya merupakan bilangan komposit. Secara matematis sebagai berikut:

Misalkan a, b bilangan asli yang mempunyai faktorisasi prima:

a =  dan b =

dimana pangkat adalah bilangan bulat tidak negatif, dan semua prima yang muncul di faktorisasi a atau b muncul di faktorisasi kedua-duanya, bisa dengan pangkat nol.

FPB (a, b) = dimana min(x, y) adalah  nilai terkecil antara x dan y.

Menentukan KPK

Untuk menentukan KPK dari dua atau lebih bilangan asli dapat dilakukan dengan berbagai macam metode, yaitu:

·         Mendaftarkan semua kelipatan dari bilangan-bilangan tersebut

·         Metode faktor prima

Namun metode ini hanya dapat dilakukan jika bilangan-bilangan asli yang ingin dicari KPK nya merupakan bilangan komposit. Secara matematis sebagai berikut:

Seperti FPB, KPK antara dua bilangan bulat juga dapat dicari dengan  faktorisasi prima dari masing-masing bilangan, dengan  KPK(a, b) adalah  KPK (a, b) =

dimana maks(x, y) menyatakan nilai terbesar antara x dan y.

Teorema 1. Untuk bilangan bulat positif a dan b berlaku        ab = (a, b) [a, b] ) dimana

                    [a, b] adalah KPK dari bilangan bulat positif a dan b

Algoritma Euclid

Secara sederhana metode yang dilakukan algoritma Euclid adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan yang telah direduksi terus menerus. Cara mereduksi bilangan ini adalah dengan melihat sisa pembagian antara satu bilangan dengan bilangan yang lain. Sisa tak nol terakhir adalah nilai FPB yang dimaksud

Teorema Dasar Aritmatika.

Setiap bilangan bulat positif n > 1 dapat dituliskan secara tunggal sebagai   n = ...

untuk suatu a₁, a_{2 ....} a_n > 0 dengan p₁ ≤  p₂ ≤ ... ≤ p_n merupakan bilangan prima.

Jika                                  maka banyak pembagi bulat positif dari a adalah

Kongruensi

Misalkan a bilangan bulat dan m bilangan bulat positif. Digunakan a mod m untuk menyatakan sisa hasil pembagian a oleh m.

Jika a dan b bilangan bulat dan m bilangan bulat positif, maka a adalah kongruen dengan  b modulo m jika m | (a – b). Digunakan notasi a º b (mod m) untuk menyatakan a kongruen dengan b modulo m. Jika a dan b tidak kongruen modulo m, ditulis a b (mod m).

Misalkan m bilangan bulat positif. Bilangan bulat a dan b adalah kongruen modulo m jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga  a = km+ b

Teorema           (a.m + b)^k  º  b^k (mod  m).   Teorema sangat berarti untuk nilai  b =  -1 atau 1

The Chinesse Remainder Theorem.

Misalkan m₁, m₂, …, m_n bilangan bulat yang saling relatif prima. Sistem   x º a₁ (mod m₁)   ;                     x º a₂ (mod m₂) .....  x º a_n (mod m_n)   memiliki satu solusi tunggal modulo m = m₁ m₂ … m_n.

Dengan  kata lain, terdapat satu dan hanya satu x dengan  0 £ x < m yang memenuhi sistem tersebut.

Persamaan Diophantine

Suatu peramaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, dan c bilangan bulat dan a, b tidak nol disebut Persamaan Diopanthine, jika penyelesaiannya dicari pada himpunan bilangan bulat.

Teorema

Persamaan diopanthine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika FPB(a, b) membagi c.

Teorema

 Jika d = FPB(a, b) dan x₀, y₀ adalah penyelesaian dari Persamaan Diophantine ax + by = c, maka penyelesaian umum dari persamaan tersebut adalah   dan  dengan k parameter bilangan bulat.

Fungsi Tangga

Fungsi flor disebut juga fungsi pembulatan ke bawah, yakni dengan mengambil bagian bulatnya. Untuk sebarang bilangan real x, nilai fungsi floor dari x kita tulis dengan .

Defenisi 1

Misalkan x adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi floor x kita tulis dengan  merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.

Contoh:  , dan lain sebagainya.

Defenisi 2

Untuk sebarang bilangan real x, notasi {x} menyatakan bagian pecahan dari x. Secara matematika, defenisi  di atas dapat kita tuliskan

Dari sini jelas  bahwa untuk sebarang bilangan real x berlaku .

Contoh:   , dan lain sebagainya.

Langsung dari defenisi, kita dapat menurunkan beberapa sifat sebagai berikut:

1. untuk sebarang bilangan real x selalu berlaku
2.  jika dan hanya jika
3.  untuk sebarang bilangan bulat k
4.  untuk setiap
5.  untuk setiap

·         Jika x sebarang bilangan real, maka  menyatakan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.

Contoh :

Kita selalu memperoleh

      Jika x sebarang bilangan real, maka  menyatakan bilangan bulat terkecil lebih  dari atau

     sama dengan x.

Contoh :

Kita selalu memperoleh

Tanda kesamaan terjadi hanya saat x adalah bilangan bulat.

·         Tanda  dapat digunakan untuk menentukan nilai k bulat terbesar sehingga  membagi n! dengan a merupakan bilangan prima dan ”!” menyatakan faktorial.

Nilai k terbesar =

Contoh : k terbesar yang memuat 3^k  membagi 28! =       

                                                                                    = 9 + 3 + 1 = 13.

Teorema :

Misal x, y bilangan real, maka

i.   

dan

ii.   Jika

iii.

iv.       

CONTOH  SOAL  OSK TEORI BILANGAN

LATIHAN TEORI BILANGAN

Soal – Soal Olimpiade Matematika Nasional Tingkat Kab/Kota

OSN 2002 (Kab/Kota)

1.       Yang manakah diantara bilangan ini yang paling benar?

A. 2⁸¹                          B. 4³²                           C.                               D. 16¹⁸                                E. (8³) ²

2.       Suatu bilangan bulat p > 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1.  Misalkan M menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama.  Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M?

A. 0                              B. 1                              C. 2                                         D. 3                                      E. 4  

3.       Misalkan p = 10  , q = 9  dan r =  dengan n ! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n. Pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini adalah ….

A. p < q < r                B. q < r < p                C. r < p < q                           D. q < p < r                        E. p < r < q

4.       Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi bentuk x⁸ + y⁸ kurang dari 10.000

5.       Berapakah jumlah digit – digit bilangan 2¹⁹⁹⁹ . 5²⁰⁰⁰ ?

OSN 2003 (Kab/Kota)

6.       Misalkan A = , B = , C = , D = , dan E = . Yang manakah yang terbesar?

A.  A                            B.  B                             C.  C                                       D.  D                                    E.  E       

7.       Bilangan bulat positif  p ≥ 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat: satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6?

OSN 2004 (Kab/Kota)

8.       Bilangan 2004 memiliki faktor selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak

A. 3                              B. 4                              C. 6                                         D. 10                                   E. 12

9.       Misalkan k bilangan bulat. Nilai 4^{k + 1} × 5^{k – 1} sama dengan

A. × 20^k                 B. × 20^2k               C. 16 × 20^{k – 1}                       D. 20^2k                                E.

10.   Untuk a dan b bilangan bulat dengan a ≠ 0, notasi a | b menyatakan "a membagi b". Pernyataan berikut yang salah adalah

1. Jika a | b dan a | c maka a | (bc)
2. Jika a | c dan b | c maka (ab) | c
3. Jika a | b dan a | c maka a | (b + c)
4. Untuk setiap bilangan bulat a ≠ 0 berlaku a | 0
5. Jika a | b maka a | (bc), untuk setiap bilangan bulat c

11.   Untuk dua bilangan bulat a dan b, penulisan a * b menyatakan sisa tak negatif ab jika dibagi 5.

Nilai (-3) * 4 = ….

12.   Jika x dan y dua bilangan asli dan x + y + xy = 34, maka nilai x + y = ….

OSN 2005 (Kab/Kota)

13.   Bilangan  adalah bilangan ….

1. tak rasional positif                                                 D. bulat positif
2. tak rasional negatif                                               E. bulat negatif
3. rasional tidak bulat

14.   Mana diantara 5 ekspresi berikut yang angka terakhirnya berturut-turut  5, 6, 7, 8, 9, 0

A.                        B.                        C.                                   D.                                E.

15.   Faktor prima tebesar dari 2005 adalah ….

16.   Tentukan semua bilangan tiga angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga angka itu.

17.   Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang merupakan solusi dari persamaan .

OSN 2006 (Kab/Kota)

18.   Jika operasi * terhadap bilangan real positif didefinisikan sebagai a * b =  ,                 

  maka 4 * (4 * 4) = ….

A.                            B. 1                              C.                                       D. 2                                      E.

19.   Jumlah tiga bilangan prima pertama yang lebih besar dari 50 adalah ….

20.   Dimas membeli majalah setiap 5 hari sekali, sedangkan Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre akan membeli majalah besok. Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama … hari lagi

21.   Misalkan a, b, c bilangan asli yang memenuhi a² + b² = c² , jika c ≤ 20 dengan tidak memperhatikan urutan a dan b, banyaknya pasangan bilangan a dan b yang mungkin adalah ….

22.   Nanang mencari semua bilangan empat angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari ….

OSN 2007 (Kab/Kota)  

23.   Jika  menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan bilangan  real x, maka

A. – 1                          B. 0                              C. 1                                         D. 9                                      E. 81

24.   Bilangan  merupakan bilangan

1. Bulat negatif
2. Bulat positif
3. Pecahan
4. Irasional positif
5. Irasional negatif

25.   Misalkan H adalah himpunan semua faktor dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah ….

A. 6                              B. 31                            C. 32                                      D. 63                                   E. 64

26.   Misalkan N sebuah bilangan asli dua angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N – M adalah ….

A. 2                              B. 3                              C. 7                                         D. 9                                      E. 11

27.   Semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi x + y = xy – 1 dan x ≤ y adalah ….

28.   Jika n adalah bilangan asli sehingga 3ⁿ adalah faktor dari 33! maka nilai n terbesar yang mungkin adalah ….

OSN 2008 (Kab/Kota)

29.   Banyaknya faktor positif dari 5! Adalah

A. 4                              B. 5                              C. 16                                      D. 24                                   E. 120

30.   Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Nilai p terkecil adalah ….

 A. 1                             B. 2                              C. 4                                         D. 5                                      E. 7

31.   Diketahui FPB (a, 2008) = 251. Jika a > 2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a adalah….

32.   Himpunan semua bilangan asli yang sama dengan enam kali jumlah angka-angkanya adalah ….

OSN 2009 (Kab/Kota)

33.    Banyaknya bilangan asli kurang dari 1000 yang dapat dinyatakan dalam bentuk  untuk suatu bilangan ganjil x dan y adalah…

34.   Bilangan bulat positif terkecil n dengan sehingga 

merupakan bilangan bulat adalah…

35.    Nilai dari  adalah…

36.   Banyaknya pasangan bilangan asli (x,y) sehingga  merupakan bilangan prima adalah…

37.   Jika  dibagi 7, maka sisanya adalah…

38.   Banyaknya segitiga siku-siku yang kelilingnya 2009 dan sisi-sisinya bilangan bulat serta jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat adalah…

OSN 2010 ( Kab/Kota)

 39.Diketahui bahwa ada tepat 1 bilangan asli n sehingga n2  + n + 2010 merupakan

    kuadrat sempurna. Bilangan asli n tersebut adalah ....

40.Pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi 2x + 5y = 2010 sebanyak....

41. Nilai n terkecil sehingga bilangan  201020102010.......20102010 (ada  n buah 2010) habis

    dibagi 99 adalah....

42. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan bulat positif  (x, y) yang

      memenuhi x2  + xy = 2y2  + 30p. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif

    (x, y) yang memenuhi ada sebanyak .....

OSN 2011 (Kab/Kota)

43. Misalkan kita menuliskan semua bilangan bulat 1, 2, 3, ..., 2011. Berapa kali kita

      menuliskan angka 1 ?

44. Bilangan asli disusun seperti bagan di bawah ini.

1

2          3          4

5          6          7          8          9

10      11       12       13       14       15       16

...

      Besar bilangan ketiga dalam baris ke-50 adalah ....

45 Tentukan semua bilangan bulat positif p sedemikian sehingga p, p + 8, p + 16 adalah

     bilangan prima.

46. Ada berapa banyak bilangan bulat positif berlambang “abcde” dengan a < b ≤ c < d < e ?

47. Bilangan asli terkecil lebih dari 2011 yang bersisa 1 jika dibagi 2,3,4,5,6,7,8,9,10 adalah...

48 .Bilangan bulat positif terkecil a sehingga 2a + 4a + 6a + ... + 200a merupakan

   kuadrat sempurna adalah ....

49. Ada berapa faktor positif dari 27355372 yang merupakan kelipatan 10 ?

50.  Untuk bilangan asli n, p(n) dan s(n) berturut-turut menyatakan hasil kali dan jumlah

     angka pembentuk n. Jika n bilangan dua angka dan n + p(n) + s(n) = 69 , maka n adalah...

51.  Jumlah digit dari (111.111.111)2 adalah.....

52   Jika bilangan m dibagi 5 memberikan sisa 3, dan bilangan n dibagi 5 memberikan sisa 2;

      maka bilangan mn bila dibagi 5 akan memberikan sisa .....

53. Diketahui sebuah bulan dengan jumlah hari 31 memiliki jumlah hari Selasa dan Kamis  yang sama

       banyaknya. Maka hari yang mungkin  sebagai hari awal pada bulan tersebut adalah....

54. Jika n = 20112 + 22011 maka digit satuan dari n2 adalah ....                                                    

55. Nilai dari adalah....

OSN 2012 (Kab/Kota)

57.   Banyaknya bilangan  bulat  n sehingga    merupakan bilangan  bulat  adalah  ...

58.   Banyaknya pasangan solusi bilangan bulat positif yang memenuhi           

59. Banyaknya pasangan  bilangan  asli berbeda  yang selisih kuadratnya 2012 adalah ...

60. Bilangan  asli  terbesar x kurang  dari  1000 sehingga  terdapat tepat dua

     bilangan  asli sehingga         merupakan bilangan  asli adalah  ...

61. Ada berapa  faktor  positif dari 27 35 53 72  yang merupakan kelipatan 6?

62 Tentukan angka satuan pada  (2012)2012 .

63 Tentukan bilangan  n terbesar sehingga 6n membagi  30!