MATERI DAN SOAL
OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SMA
PERSIAPAN OLIMPIADE TKT KAB/KOTA
TAHUN 2013
A.
RANGKUMAN MATERI TEORI BILANGAN
NO
|
MATERI POKOK
|
RUANG LINGKUP
|
1
|
TEORI
BILANGAN
|
-
Sistem bilangan bulat (himpunan bilangan bulat dan sifat
sifat operasinya)
-
Keterbagian (pengertian, sifat-sifat elementer, alogaritma
pembagian)
-
Faktor persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan
terkecil, relatif prima,alogaritma Euklid)
-
Bilangan prima
-
Teorema dasar
aritmatika (faktorisasi prima)
-
Persamaan dan sistem persamaan bilangan bulat
(Persamaan
Diophantine)
-
Fungsi tangga
|
RANGKUMAN
MATERI
Operasi dan Sifat Bilangan
Real
Definisi:
Jika a dan b
adalah bilangan real, maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai a
+ b yang
merupakan jumlah dari a dan b. Juga ada suatu bilangan real a × b (atau ditulis sebagai a.b atau ab) yang merupakan
hasil kali dari a dan b.
Sifat-sifat operasi himpunan bilangan real
Beberapa sifat operasi pada bilangan real antara lain
adalah:
1. Sifat tertutup (Closure Axioms)
Himpunan bilangan real
R dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah dan hasil kali dari
2 bilangan real merupakan bilangan real pula. Dalam notasi matematika biasa ditulis sebagai berikut:
a.
Penjumlahan
Untuk setiap a, b
R, berlaku (a +
b)
R
b.
Perkalian
Untuk setiap a, b
R, berlaku (ab)
R
2. Sifat Komutatif
a. Penjumlahan
Untuk setiap a,
b
R, berlaku a + b = b + a
b. Perkalian
Untuk setiap a, b
R, berlaku ab =ba
3. Sifat Asosiatif
a. Penjumlahan
Untuk setiap a, b,
c
R, berlaku (a + b)
+ c = a + (b + c)
b.
Perkalian
Untuk setiap a, b, c
R, berlaku (ab)c
= a(bc)
4. Sifat Identitas
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n
R. berlaku n + 0 = 0 + n = n dimana 0 sebagai
identitas penjumlahan
b.
Perkalian
Untuk setiap n
R, berlaku n x 1 = 1 x n = n dimana 1 sebagai
identitas perkalian
5. Sifat Kebalikan (inverse)
a.
Penjumlahan
Untuk setiap a
R akan terdapat -a
R sehingga berlaku
sifat a + (-a) = (-a) + a = 0. -a disebut invers atau kebalikan dari a terhadap operasi penjumlahan
b.
Perkalian
Untuk setiap a ≠ 0
R akan terdapat 1/a
R sehingga berlaku sifat
a × 1/a = 1/a × a = a
disebut invers atau kebalikan dari a
terhadap operasi perkalian
6. Sifat Distributif
a.
Distributif kiri
Untuk setiap a, b, c
R, berlaku (a + b)
c = ac + bc
b.
Distributif kanan
Untuk setiap a, b, c
R, berlaku a (b
+ c) = ab + ac
Keterbagian
Definisi 1. Misalkan a
dan b bilangan bulat. Kita katakan a membagi b jika
terdapat
bilangan bulat k sehingga b = ka, dalam
hal berikut kita tuliskan a | b. Dalam
hal a tidak membagi b kita
tuliskan a | b.
Teorema Algoritma pembagian.
Misalkan a bilangan bulat dan d
bilangan bulat positif. Terdapat bilangan bulat q dan r yang unik,
dengan 0 £ r < d sehingga a = dq + r
Dalam persamaan yang diberikan
pada algoritma pembagian, d disebut
pembagi (divisor), a disebut yang dibagi (divident), q disebut hasil bagi (quotient),
dan r disebut sisa (remainder)
Ada banyak
kasus-kasus seperti ini dimana yang diperlukan hanyalah sisa pembagian
sementara hasil baginya tidak penting.
Menentukan
FPB
Untuk
menentukan FPB dari dua atau lebih bilangan asli dapat dilakukan dengan
berbagai macam
metode, yaitu:
1. Mendaftarkan
semua faktor dari bilangan-bilangan tersebut
2. Metode
faktor prima
Metode ini merupakan metode yang sangat umum digunakan,
yaitu dengan menguraikan setiap bilangan tersebut sebagai perkalian antar
faktor primanya. Kemudian
untuk menentukan FPB dengan cara:
a.
Tentukan semua
faktor prima yang sama antar bilangan tersebut
b.
Tentukan
bilangan terkecil dari pemangkatan setiap faktor prima yang sama di atas yang
berada pada bilangan-bilangan tersebut
c.
FPB
dari bilangan-bilangan tersebut adalah perkalian antar semua bilangan terkecil
yang sudah diperoleh di atas
Namun metode ini dapat dilakukan jika bilangan-bilangan
asli yang ingin dicari FPB nya merupakan bilangan komposit. Secara matematis
sebagai berikut:
Misalkan a, b bilangan asli yang mempunyai
faktorisasi prima:
a =
dan b =
dimana pangkat adalah bilangan bulat tidak negatif, dan
semua prima yang muncul di faktorisasi a
atau b muncul di faktorisasi
kedua-duanya, bisa dengan pangkat nol.
FPB (a, b) =
dimana min(x, y) adalah nilai terkecil antara x dan y.
Menentukan
KPK
Untuk
menentukan KPK dari dua atau lebih bilangan asli dapat dilakukan dengan
berbagai macam metode, yaitu:
·
Mendaftarkan semua kelipatan dari bilangan-bilangan
tersebut
·
Metode faktor prima
Namun metode ini hanya dapat dilakukan jika bilangan-bilangan
asli yang ingin dicari KPK nya merupakan bilangan komposit. Secara matematis
sebagai berikut:
Seperti FPB, KPK antara dua bilangan bulat juga dapat
dicari dengan faktorisasi prima dari
masing-masing bilangan, dengan KPK(a, b)
adalah KPK (a, b) =
dimana maks(x,
y) menyatakan nilai terbesar antara x dan y.
Teorema 1. Untuk
bilangan bulat positif a dan b berlaku
ab = (a,
b) [a, b] ) dimana
[a, b] adalah KPK dari bilangan bulat positif a dan b
Algoritma
Euclid
Secara
sederhana metode yang dilakukan algoritma Euclid adalah mencari faktor
persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan yang telah direduksi terus menerus.
Cara mereduksi bilangan ini adalah dengan melihat sisa pembagian antara satu
bilangan dengan bilangan yang lain. Sisa tak nol terakhir adalah nilai FPB yang
dimaksud
Teorema Dasar Aritmatika.
Setiap bilangan bulat positif n > 1 dapat dituliskan secara tunggal sebagai n =
...
untuk
suatu a1, a2 .... an > 0 dengan p1 ≤ p2
≤ ... ≤ pn merupakan
bilangan prima.
Jika maka banyak pembagi bulat positif dari a
adalah
Kongruensi
Misalkan a bilangan bulat dan m
bilangan bulat positif. Digunakan a mod
m untuk menyatakan sisa hasil pembagian a oleh m.
Jika a dan b bilangan bulat
dan m bilangan bulat positif, maka a adalah kongruen dengan b
modulo m jika m | (a – b). Digunakan notasi a
º b (mod m) untuk menyatakan a
kongruen dengan b modulo m. Jika a dan b tidak kongruen
modulo m, ditulis a
b (mod m).
Misalkan m bilangan bulat positif. Bilangan bulat a dan b
adalah kongruen modulo m jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga a = km+ b
Teorema (a.m + b)k º bk (mod m). Teorema
sangat berarti untuk nilai b = -1 atau 1
The
Chinesse Remainder Theorem.
Misalkan m1, m2,
…, mn bilangan bulat yang
saling relatif prima. Sistem x º
a1 (mod m1) ; x º
a2 (mod m2) ..... x º an (mod mn) memiliki satu solusi tunggal modulo m = m1 m2 … mn.
Dengan kata lain, terdapat satu dan hanya satu x dengan
0 £ x < m yang memenuhi sistem
tersebut.
Persamaan Diophantine
Suatu peramaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, dan c bilangan bulat dan a, b
tidak nol disebut Persamaan Diopanthine, jika
penyelesaiannya dicari pada himpunan bilangan bulat.
Teorema
Persamaan diopanthine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika
dan hanya jika FPB(a, b) membagi c.
Teorema
Jika d = FPB(a, b) dan x0, y0 adalah penyelesaian dari Persamaan Diophantine ax + by = c, maka penyelesaian umum dari persamaan tersebut
adalah
dan
dengan k parameter bilangan bulat.
Fungsi Tangga
Fungsi flor
disebut juga fungsi pembulatan ke bawah, yakni dengan mengambil bagian bulatnya. Untuk sebarang
bilangan real x, nilai fungsi floor
dari x kita tulis dengan
.
Defenisi 1
Misalkan x adalah sebarang bilangan real. Nilai
fungsi floor x kita tulis dengan
merupakan bilangan
bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.
Contoh:
, dan lain sebagainya.
Defenisi 2
Untuk
sebarang bilangan real x, notasi {x} menyatakan bagian pecahan dari x. Secara matematika, defenisi di atas dapat kita
tuliskan
Dari sini
jelas bahwa untuk sebarang bilangan real
x berlaku
.
Contoh:
, dan lain sebagainya.
Langsung
dari defenisi, kita dapat menurunkan beberapa sifat sebagai berikut:
- untuk sebarang bilangan real x selalu berlaku
- jika dan hanya jika
- untuk sebarang bilangan bulat k
- untuk setiap
- untuk setiap
·
Jika x sebarang bilangan real, maka
menyatakan bilangan
bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x.
Contoh :
Kita selalu memperoleh
Jika x sebarang bilangan real,
maka
menyatakan bilangan
bulat terkecil lebih dari atau
sama dengan x.
Contoh :
Kita selalu memperoleh
Tanda kesamaan terjadi hanya saat x adalah bilangan bulat.
·
Tanda
dapat digunakan untuk
menentukan nilai k bulat terbesar
sehingga
membagi n! dengan a merupakan bilangan prima dan ”!” menyatakan faktorial.
Nilai k terbesar
=
Contoh : k terbesar yang memuat 3k membagi 28! =
=
9 + 3 + 1 = 13.
Teorema :
Misal x, y bilangan real, maka
i.
dan
ii. Jika
iii.
iv.
CONTOH SOAL OSK TEORI BILANGAN
LATIHAN TEORI BILANGAN
Soal – Soal Olimpiade Matematika Nasional Tingkat
Kab/Kota
OSN 2002 (Kab/Kota)
1.
Yang
manakah diantara bilangan ini yang paling benar?
A.
281 B.
432 C.
D.
1618 E.
(83) 2
2.
Suatu
bilangan bulat p > 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan
1. Misalkan M menyatakan perkalian 100
bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah
angka 0 di akhir bilangan M?
A.
0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
3.
Misalkan
p = 10
, q = 9
dan r =
dengan n ! = 1 . 2 . 3 . … . (n – 1) . n.
Pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini adalah ….
A. p < q < r B. q < r < p C. r < p < q D. q < p < r E. p < r < q
4.
Berapa
banyak pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi bentuk x8 + y8
kurang dari 10.000
5. Berapakah
jumlah digit – digit bilangan 21999 . 52000 ?
OSN 2003 (Kab/Kota)
6.
Misalkan
A =
, B =
, C =
, D =
, dan E =
. Yang manakah yang terbesar?
A.
A B. B C. C D. D E. E
7.
Bilangan
bulat positif p ≥ 2 disebut bilangan
prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua
bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat: satu lebihnya dari
suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6?
OSN 2004 (Kab/Kota)
8.
Bilangan
2004 memiliki faktor selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak
A.
3 B. 4 C. 6 D. 10 E. 12
9.
Misalkan
k bilangan bulat. Nilai 4k + 1 × 5k – 1 sama dengan
A.
× 20k B.
× 202k C.
16 × 20k – 1 D.
202k E.
10. Untuk
a dan b bilangan bulat dengan a ≠ 0, notasi a | b menyatakan "a membagi
b". Pernyataan berikut yang salah adalah
- Jika a | b dan a | c maka a | (bc)
- Jika a | c dan b | c maka (ab) | c
- Jika a | b dan a | c maka a | (b + c)
- Untuk setiap bilangan bulat a ≠ 0 berlaku a | 0
- Jika a | b maka a | (bc), untuk setiap bilangan bulat c
11. Untuk
dua bilangan bulat a dan b, penulisan a * b menyatakan sisa tak negatif ab jika
dibagi 5.
Nilai (-3) * 4 =
….
12. Jika
x dan y dua bilangan asli dan x + y + xy = 34, maka nilai x + y = ….
OSN 2005 (Kab/Kota)
13. Bilangan
adalah bilangan ….
- tak rasional positif D. bulat positif
- tak rasional negatif E. bulat negatif
- rasional tidak bulat
14.
Mana
diantara 5 ekspresi berikut yang angka terakhirnya berturut-turut 5, 6, 7, 8, 9, 0
A.
B.
C.
D.
E.
15. Faktor
prima tebesar dari 2005 adalah ….
16.
Tentukan
semua bilangan tiga angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah
ketiga angka itu.
17.
Tentukan
banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang merupakan solusi dari
persamaan
.
OSN 2006 (Kab/Kota)
18.
Jika
operasi * terhadap bilangan real positif didefinisikan sebagai a * b =
,
maka 4 *
(4 * 4) = ….
A.
B.
1 C.
D.
2 E.
19.
Jumlah
tiga bilangan prima pertama yang lebih besar dari 50 adalah ….
20.
Dimas
membeli majalah setiap 5 hari sekali, sedangkan Andre membeli majalah setiap 8
hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre akan membeli majalah besok.
Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama … hari lagi
21.
Misalkan a, b, c bilangan asli yang memenuhi a2
+ b2 = c2 , jika c ≤ 20 dengan tidak memperhatikan urutan
a dan b, banyaknya pasangan bilangan a dan b yang mungkin adalah ….
22.
Nanang mencari semua bilangan empat angka yang
selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bilangan yang
ditemukan Nanang tidak akan lebih dari ….
OSN 2007 (Kab/Kota)
23.
Jika
menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih
kecil dari atau sama dengan bilangan
real x, maka
A.
– 1 B. 0 C. 1 D. 9 E. 81
24. Bilangan
merupakan bilangan
- Bulat negatif
- Bulat positif
- Pecahan
- Irasional positif
- Irasional negatif
25.
Misalkan
H adalah himpunan semua faktor dari 2007. Banyaknya himpunan bagian dari H yang
tidak kosong adalah ….
A.
6 B. 31 C. 32 D. 63 E. 64
26. Misalkan
N sebuah bilangan asli dua angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh
dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N
– M adalah ….
A.
2 B. 3 C. 7 D. 9 E. 11
27. Semua
pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi x + y = xy – 1 dan x ≤ y adalah ….
28.
Jika n adalah bilangan asli sehingga 3n
adalah faktor dari 33! maka nilai n terbesar yang mungkin adalah ….
OSN 2008 (Kab/Kota)
29. Banyaknya
faktor positif dari 5! Adalah
A.
4 B. 5 C. 16 D. 24 E. 120
30. Jumlah
empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Nilai p terkecil
adalah ….
A. 1 B.
2 C. 4 D. 5 E. 7
31. Diketahui
FPB (a, 2008) = 251. Jika a > 2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi a
adalah….
32.
Himpunan
semua bilangan asli yang sama dengan enam kali jumlah angka-angkanya adalah ….
OSN 2009 (Kab/Kota)
33. Banyaknya bilangan asli kurang dari 1000 yang
dapat dinyatakan dalam bentuk
untuk suatu bilangan
ganjil x dan y adalah…
34.
Bilangan
bulat positif terkecil n dengan
sehingga
merupakan bilangan bulat adalah…
35. Nilai dari
adalah…
36.
Banyaknya
pasangan bilangan asli (x,y) sehingga
merupakan bilangan prima adalah…
37.
Jika
dibagi 7, maka sisanya adalah…
38.
Banyaknya
segitiga siku-siku yang kelilingnya 2009 dan sisi-sisinya bilangan bulat serta
jari-jari lingkaran dalamnya juga bilangan bulat adalah…
OSN 2010 ( Kab/Kota)
39.Diketahui bahwa ada tepat 1 bilangan asli n sehingga
n2 + n + 2010 merupakan
kuadrat sempurna. Bilangan
asli n tersebut adalah ....
40.Pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi
2x + 5y = 2010 sebanyak....
41. Nilai n terkecil sehingga bilangan 201020102010.......20102010
(ada n buah 2010) habis
dibagi 99 adalah....
42. Diketahui p adalah bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan bulat positif
(x, y)
yang
memenuhi x2 + xy = 2y2 + 30p. Banyaknya
pasangan bilangan bulat positif
(x,
y) yang memenuhi ada sebanyak .....
OSN 2011 (Kab/Kota)
43. Misalkan kita menuliskan
semua bilangan bulat 1, 2, 3, ..., 2011. Berapa kali kita
menuliskan angka 1 ?
44. Bilangan asli disusun seperti bagan
di bawah ini.
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
...
Besar
bilangan ketiga dalam baris ke-50 adalah ....
45 Tentukan semua bilangan
bulat positif p sedemikian sehingga p, p + 8, p + 16 adalah
bilangan prima.
46. Ada berapa banyak
bilangan bulat positif berlambang “abcde” dengan
a < b ≤ c < d < e ?
47. Bilangan asli terkecil
lebih dari 2011 yang bersisa
1 jika dibagi 2,3,4,5,6,7,8,9,10 adalah...
48 .Bilangan bulat positif
terkecil a sehingga
2a + 4a + 6a + ... + 200a merupakan
kuadrat sempurna adalah ....
49. Ada berapa faktor positif
dari 27355372 yang merupakan kelipatan
10 ?
50.
Untuk bilangan asli n, p(n) dan s(n) berturut-turut menyatakan hasil kali dan jumlah
angka pembentuk n. Jika n bilangan dua angka dan n
+ p(n) + s(n) = 69 , maka n adalah...
51. Jumlah digit dari (111.111.111)2 adalah.....
52 Jika bilangan m dibagi 5 memberikan sisa 3, dan bilangan n dibagi 5 memberikan
sisa 2;
maka bilangan mn bila dibagi 5 akan memberikan sisa .....
53. Diketahui sebuah bulan dengan jumlah hari 31 memiliki jumlah hari
Selasa dan Kamis yang sama
banyaknya. Maka hari yang
mungkin sebagai hari awal pada bulan
tersebut adalah....
54. Jika n = 20112 + 22011 maka digit satuan dari n2 adalah ....
55. Nilai dari
adalah....
OSN 2012 (Kab/Kota)
57. Banyaknya bilangan bulat n
sehingga
merupakan bilangan bulat
adalah
...
58. Banyaknya pasangan solusi bilangan bulat
positif yang memenuhi
59. Banyaknya pasangan
bilangan
asli berbeda yang selisih
kuadratnya 2012 adalah ...
60. Bilangan asli
terbesar x kurang
dari
1000 sehingga terdapat tepat dua
bilangan
asli sehingga
merupakan bilangan asli
adalah ...
61. Ada berapa faktor positif dari 27 35 53 72 yang merupakan kelipatan 6?
62 Tentukan angka satuan pada
(2012)2012 .
63 Tentukan bilangan n
terbesar sehingga 6n membagi 30!